Question

6．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=（x-1）f′（x），其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（e，1）處的切線方程；
（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）在[3，+∞）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′（e）=$\frac{1}{e}$，再求出f（e）=lne=1，利用直線方程的點斜式求得曲線y=f（x）在點（e，1）處的切線方程；
（Ⅱ）求出g（x）代入f（x）≥ag（x），分離參數(shù)a，構(gòu)造函數(shù)h（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$（x≥3），利用導(dǎo)數(shù)求其最小值得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$，則f′（e）=$\frac{1}{e}$．
又f（e）=lne=1，
∴求曲線y=f（x）在點（e，1）處的切線方程為y-1=$\frac{1}{e}（x-e）$，
即x-ey=0；
（Ⅱ）g（x）=（x-1）f′（x）=$（x-1）•\frac{1}{x}=1-\frac{1}{x}$，
f（x）≥ag（x）在[3，+∞）上恒成立，
即lnx≥a（1-$\frac{1}{x}$）在[3，+∞）上恒成立，
也就是a≤$\frac{xlnx}{x-1}$在[3，+∞）上恒成立，
令h（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$（x≥3），
h′（x）=$\frac{（lnx+1）（x-1）-xlnx}{（x-1）^{2}}$=$\frac{x-lnx-1}{（x-1）^{2}}$．
令t（x）=x-lnx-1，則t′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$＞0，
∴t（x）在[3，+∞）上單調(diào)遞增，又t（3）=2-ln3＞0，
∴h′（x）＞0在[3，+∞）上恒成立，
即$h（x）_{min}=h（3）=\frac{3ln3}{2}$．
∴a≤$\frac{3ln3}{2}$．
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，$\frac{3ln3}{2}$]．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分離參數(shù)方法的應(yīng)用，是中檔題．