Question

在數(shù)列{a_n}中，a_n＞0，a₁=

1

2

，如果a_n+1是1與

2anan+1+1

4-an2

的等比中項，那么a₁+

a2

22

+

a3

32

+

a4

42

+…+

a100

1002

的值是（　�。�

• A、

  100

  99

• B、

  101

  100

• C、

  100

  101

• D、

  99

  100

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知得an+12=

2anan+1+1

4-an2

，a_n＞0，利用遞推思想求出數(shù)列的前3項，由此猜想a_n=

n

n+1

，并用數(shù)學歸納法進行證明，得到a_n=

n

n+1

，從而

an

n2

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

由此利用裂項求和法能求出a₁+

a2

22

+

a3

32

+

a4

42

+…+

a100

1002

的值．

解答： 解：∵在數(shù)列{a_n}中，a_n＞0，a₁=

1

2

，
a_n+1是1與

2anan+1+1

4-an2

的等比中項，
∴an+12=

2anan+1+1

4-an2

，a_n＞0，
∴a22=

a2+1

4- 1 4

，解得a2=

2

3

，
a32=

4 3 a3+1

4- 4 9

，解得a₃=

3

4

，
由此猜想a_n=

n

n+1

，
當n=1時，a1=

1

2

，成立，
假設(shè)n=k時，成立，即ak=

k

k+1

，
則當n=k+1時，a_k+1²=

2× k k+1 ×ak+1+1

1-( k k+1 )2

，解得a_k+1=

k+1

k+2

，即n=k+1時，等式成立，
∴a_n=

n

n+1

，∴

an

n2

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴a₁+

a2

22

+

a3

32

+

a4

42

+…+

a100

1002

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

100

-

1

101

）
=1-

1

101

=

100

101

．
故選：C．

點評：本題考查數(shù)列的前100項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意遞推思想、數(shù)學歸納法、裂項求和法的合理運用．