Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx，f（x+1）為偶函數(shù)，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x相切．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)集合A={x|f（x）＞0}，B={x||x-1|＜m}，若集合B是集合A的子集，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先求出f（x+1）的解析式，再根據(jù)f（x+1）為偶函數(shù)，列出相應(yīng)的等式，再結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x相切，導(dǎo)數(shù)即斜率，切點(diǎn)在曲線上；
（2）先解出集合A，討論參數(shù)m的取值，分別驗(yàn)證是否符合集合B是集合A的子集．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）=ax²+（2a+b）x+（a+b）為偶函數(shù)，
∴2a+b=0⇒b=-2a…（2分）f（x）=ax²-2axf'（x）=2ax-2a
設(shè)f（x）與y=x相切于P（x₀，x₀），則

2ax0-2a=1 a x 2 0 -2ax0=x0

⇒

a=- 1 2 x0=0

∴f(x)=-

1

2

x2+x．…（6分）
（運(yùn)用判別式處理同樣給分）
（Ⅱ）A={x|f（x）＞0}={x|0＜x＜2}B={x||x-1|＜m}
∵B⊆A∴①當(dāng)m≤0時(shí)，有B=∅，滿足B⊆A…（10分）
②當(dāng)m＞0時(shí)，B={x|1-m＜x＜1+m}要使B⊆A，則

m＞0 1-m≥0 1+m≤2

⇒0＜m≤1
綜合①②，要使B⊆A，實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，1]．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查偶函數(shù)的性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)與切線，集合間的關(guān)系，屬于中檔題．