Question

已知函數的圖象過點P（0，2），且在點M（－1，）處的切線方程。

（1）求函數的解析式；

（2）求函數與的圖像有三個交點，求的取值范圍。

 

Answer 1

（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）將點代入函數解析式可得的值，將代入直線可得的值，再由切線方程可知切線的斜率為6，由導數的幾何意義可知即，解由和組成的方程組可得的值。（2）可將問題轉化為有三個不等的實根問題，將整理變形可得，令，則的圖像與圖像有三個交點。然后對函數求導，令導數等于0求其根。討論導數的符號，導數正得增區(qū)間，導數負得減區(qū)間，根據函數的單調性得函數的極值，數形結合分析可得出的取值范圍。

（1）由的圖象經過點，知。

所以，則

由在處的切線方程是知，即。所以即解得。

故所求的解析式是。

（2）因為函數與 的圖像有三個交點

所以有三個根

即有三個根

令，則的圖像與圖像有三個交點。

接下來求的極大值與極小值（表略）。

的極大值為 的極小值為

因此

考點：1導數的幾何意義；2用導數研究函數的圖像及性質。