Question

a，b，c分別是△ABC中角A，B，C的對邊，且（sinB+sinC+sinA）（sinB+sinC-sinA）=

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sinBsinC，邊b和c是關于x的方程x²-9x+25cosA=0的兩根（b＞c）．
（1）求角A的正弦值；
（2）求邊a，b，c的值；
（3）判斷△ABC的形狀．

Answer 1

考點：余弦定理的應用,三角形的形狀判斷,三角形中的幾何計算

專題：解三角形

分析：（1）由已知：（sinB+sinC+sinA）（sinB+sinC-sinA）=

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sinBsinC，利用正弦定理可得b²+c²-a²=

8

5

bc，進而利用余弦定理求cosA，從而可求sinA的值；
（2）由方程x²-9x+25cosA=0，可得x²-9x+20=0，從而b，c，利用余弦定理a²=b²+c²-2bccosA=9，可求得a；
（3）利用（2）的結果，直接判斷三角形的形狀即可．

解答： 解：（1）由已知：（sinB+sinC+sinA）（sinB+sinC-sinA）=

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5

sinBsinC
∴sin²B+sin²C-sin²A=

8

5

sinBsinC，
由正弦定理：∴b²+c²-a²=

8

5

bc（2分）
由余弦定理cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

4

5

，（3分）
∴sinA=

3

5

（4分）
（2）由（1）方程x²-9x+25cosA=0即x²-9x+20=0，則b=5，c=4（6分）
∴a²=b²+c²-2bccosA=9，∴a=3（8分）
（3）由（2），b=5，c=4，a=3，
可知：b²=c²+a²，三角形是直角三角形．

點評：本題以三角函數為載體，考查學生靈活運用余弦定理、三角形的面積公式及同角三角函數間的基本關系化簡求值，會進行簡單的線性規(guī)劃，是一道中檔題．