設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e=
2
2
，以F1為圓心，|F1F2|為半徑的圓與直線x-
3
y-3=0相切．
（I）求橢圓C的方程；
（II）過點S（0，-
1
3
）且斜率為k的直線交橢圓C于點A，B，證明無論k取何值，以AB為直徑的圓恒過定點D（0，1）．
分析：（I）設(shè)F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），則由已知得
|-c-
3
×0-3|
1+3
=2c，得c=1．再由
c
a
=
2
2
能導(dǎo)出橢圓C的方程．
（II）由已知直線AB：y=kx-
1
3
，代入
x2
2
+y2=1，得x2+2(kx-
1
3
)2 =2，整理，得（18k2+9）x2-12kx-16=0，再由韋達定理進行求解．
解答：解：（I）設(shè)F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），則由已知得
|-c-
3
×0-3|
1+3
=2c，
解得c=1．
∵
c
a
=
2
2
，∴a=
2
，∴b2=1，
∴橢圓C的方程為
x2
2
+y2=1．
（II）由已知直線AB：y=kx-
1
3
，代入
x2
2
+y2=1，得x2+2(kx-
1
3
)2 =2，
整理，得（18k2+9）x2-12kx-16=0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=
4k
6k2+3
，x1x2=-
16
18k2+9
，
∵y1=kx1-
1
3
，y2=kx2-
1
3
，
∴
DA
•
DB
=(x1y1 -1)(x2y2-1)
=（1+k2）
-16
9(2k2+1)
-
4
3
k
4k
3(2k2+1)
+
16
9
=0，∴
DA
⊥
DB
．∴以AB為直徑的圓恒過定點D（0，1）．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的合理選用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞1）右焦點為F，它與直線l：y=k（x+1）相交于P、Q兩點，l與x軸的交點M到橢圓左準線的距離為d，若橢圓的焦距是b與d+|MF|的等差中項．
（1）求橢圓離心率e；
（2）設(shè)N與M關(guān)于原點O對稱，若以N為圓心，b為半徑的圓與l相切，且
OP
•
OQ
=-
5
3
求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左．右焦點分別為F1F2，上頂點為A，過點A與AF2垂直的直線交x軸負半軸于點Q，且2
F1F2
+
F2Q
=
0
．
（1）若過A．Q．F2三點的圓恰好與直線l：x-
3
y-3=0相切，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，過右焦點F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M．N兩點．試證明：
1
|F2M|
+
1
|F2N|
為定值；②在x軸上是否存在點P（m，0）使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出m的取值范圍，如果不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•鹽城一模）設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)恒過定點A（1，2），則橢圓的中心到準線的距離的最小值
5
+2
5
+2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若P 是橢圓上的一點，|
PF1
|+|
PF2
|=4，離心率e=
3
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P 是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點，
PF1
•
PF2
=-
5
4
，求點P的坐標；
（3）設(shè)過定點P（0，2）的直線與橢圓交于不同的兩點A，B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e=
2
2
，以F1為圓心，|F1F2|為半徑的圓與直線x-
3
y-3=0相切．
（I）求橢圓C的方程；
（II）直線y=x交橢圓C于A、B兩點，D為橢圓上異于A、B的點，求△ABD面積的最大值．

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