Question

已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像上的點(diǎn)都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值；（2）；（3）.

試題分析：（1）將代入函數(shù)解析式，直接利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間，從而可確定函數(shù)的極值；(2)將條件“在區(qū)間上為減函數(shù)”等價(jià)轉(zhuǎn)化為“不等式在區(qū)間上恒成立”，結(jié)合參數(shù)分離法進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為，從中根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)求出在上的最小值即可解決本小問；（3）因函數(shù)圖像上的點(diǎn)都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，則當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即恒成立，設(shè)（），只需即可，轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用.
試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，

由，由
故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值          4分
（2），∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
∴在區(qū)間上恒成立，即在上恒成立，只需不大于在上的最小值即可            6分
而，則當(dāng)時(shí)，
∴，即，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．         8分
（3）因圖像上的點(diǎn)在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，即當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即恒成立，設(shè)（），只需即可．
由，
（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立．                                  9分
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，由，令，得或，
①若，即時(shí)，在區(qū)間上，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上無最大值，不滿足條件；
②若，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，同樣在上無最大值，不滿足條件．               11分
（ⅲ）當(dāng)時(shí)，由，因，故，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立．
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．                 12分