【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=﹣an﹣( )n﹣1+2(n∈N*),數(shù)列{bn}滿足bn=2nan .
(Ⅰ)求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)cn=log2 ,數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和為Tn , 求滿足Tn (n∈N*)的n的最大值.
【答案】(Ⅰ)證明:∵Sn=﹣an﹣( )n﹣1+2(n∈N+),當(dāng)n≥2時(shí),Sn﹣1=﹣an﹣1﹣( )n﹣2+2(n∈N+),
∴an=Sn﹣Sn﹣1=﹣an+an﹣1+( )n﹣1 ,
化為2nan=2n﹣1an﹣1+1.
∵bn=2nan . ∴bn=bn﹣1+1,即當(dāng)n≥2時(shí),bn﹣bn﹣1=1.
令n=1,可得S1=﹣a1﹣1+2=a1 , 即a1= .
又b1=2a1=1,∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列.
于是bn=1+(n﹣1)1=n=2nan ,
∴an= .
(Ⅱ)解:∵cn=log2 =n,
∴ = ﹣ ,
∴Tn=(1﹣ )+( ﹣ )+…( ﹣ )=1+ ﹣ ﹣ ,
由Tn ,得1+ ﹣ ﹣ ,即 + > ,
∵f(n)= + 單調(diào)遞減,f(4)= ,f(5)= ,
∴n的最大值為4.
【解析】(Ⅰ)利用“當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn﹣Sn﹣1”及其等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.(Ⅱ)先求通項(xiàng),再利用裂項(xiàng)法求和,進(jìn)而解不等式,即可求得正整數(shù)n的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知a∈R,命題p:x∈[-2,-1],x2-a≥0,命題q:.
(1)若命題p為真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若命題“p∨q”為真命題,命題“p∧q”為假命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在四棱錐P﹣ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=AD=AP=2CD=2,M是棱PB上一點(diǎn).
(Ⅰ)若BM=2MP,求證:PD∥平面MAC;
(Ⅱ)若平面PAB⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面ABCD,求證:PA⊥平面ABCD;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,若二面角B﹣AC﹣M的余弦值為 ,求 的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0,且a1 , a3 , a13成等比數(shù)列,若a1=1,Sn是數(shù)列{an}前n項(xiàng)的和,則 (n∈N+)的最小值為( )
A.4
B.3
C.2 ﹣2
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)=sin( x﹣ )﹣2cos2 x+1.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,求當(dāng)x∈[0, ]時(shí),y=g(x)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某理科考生參加自主招生面試,從7道題中(4道理科題3道文科題)不放回地依次任取3道作答.
(1)求該考生在第一次抽到理科題的條件下,第二次和第三次均抽到文科題的概率;
(2)規(guī)定理科考生需作答兩道理科題和一道文科題,該考生答對(duì)理科題的概率均為,答對(duì)文科題的概率均為,若每題答對(duì)得10分,否則得零分.現(xiàn)該生已抽到三道題(兩理一文),求其所得總分的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給出以下四個(gè)命題:
①若ab≤0,則a≤0或b≤0;②若a>b,則am2>bm2;③在△ABC中,若sinA=sinB,則A=B;④在一元二次方程ax2+bx+c=0中,若b2-4ac<0,則方程有實(shí)數(shù)根.其中原命題、逆命題、否命題、逆否命題全都是真命題的是( )
A. ① B. ② C. ③ D. ④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓錐曲線 E: .
(I)求曲線 E的離心率及標(biāo)準(zhǔn)方程;
(II)設(shè) M(x0 , y0)是曲線 E上的任意一點(diǎn),過(guò)原點(diǎn)作⊙M:(x﹣x0)2+(y﹣y0)2=8的兩條切線,分別交曲線 E于點(diǎn) P、Q.
①若直線OP,OQ的斜率存在分別為k1 , k2 , 求證:k1k2=﹣ ;
②試問(wèn)OP2+OQ2是否為定值.若是求出這個(gè)定值,若不是請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與課外體育鍛煉時(shí)間的關(guān)系,對(duì)該校200名高三學(xué)生的課外體育鍛煉平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間進(jìn)行調(diào)查,如下表:(平均每天鍛煉的時(shí)間單位:分鐘)
將學(xué)生日均課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間在上的學(xué)生評(píng)價(jià)為“課外體育達(dá)標(biāo)”.
平均每天鍛煉的時(shí)間(分鐘) | ||||||
總?cè)藬?shù) | 20 | 36 | 44 | 50 | 40 | 10 |
(1)請(qǐng)根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表,并通過(guò)計(jì)算判斷是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為“課外體育達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)?
課外體育不達(dá)標(biāo) | 課外體育達(dá)標(biāo) | 合計(jì) | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合計(jì) |
(2)從上述200名學(xué)生中,按“課外體育達(dá)標(biāo)”、“課外體育不達(dá)標(biāo)”分層抽樣,抽取4人得到一個(gè)樣本,再?gòu)倪@個(gè)樣本中抽取2人,求恰好抽到一名“課外體育不達(dá)標(biāo)”學(xué)生的概率.
參考公式:,其中.
參考數(shù)據(jù):
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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