Question

已知函數(shù)f(x)=x³-3tx+m(x∈R，m和t為實(shí)數(shù))是奇函數(shù)．

(Ⅰ)求實(shí)數(shù)m的值和函數(shù)f(x)的圖像與橫軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(Ⅱ)設(shè)g(x)=|f(x)|且x∈[-1，1]，求g(x)的最大值F(t)．

Answer 1

解：(1)依題意，m=0，

∴f(x)=x³-3tx．  令x³-3tx=0，

(1)當(dāng)t=0時(shí),x=0．

∴函數(shù)f(x)的圖像與橫軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)．

(2)當(dāng)t＞0時(shí),x(x-3t)=0． ∴x=0，或x²=3t，

∴x=0，或x=,或x=，

∴函數(shù)f(x)的圖像與橫軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)，或(t，0)，或(，0)．

(3)當(dāng)t＜0時(shí)，x(x-3t)=0． ∴x=0，或x²=3t(舍去)．

∴函數(shù)f(x)的圖像與橫軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)．

(Ⅱ)g(x)=|f(x)|=|x³-3tx|,x∈[-1，1]；

(1)當(dāng)t=0時(shí)，g(x)=|x³|，x∈[-1，1]；

F(t)=g(1)=g(-1)=1．

(2)當(dāng)t＜0時(shí)，F(xiàn)(t)=|f(l)=|1-3t|=1-3t．

(3)當(dāng)t≥1時(shí)，F(xiàn) （t）=|f(1)=|1-3t|=3t-1．

(4)當(dāng)0＜t＜1時(shí)，

x	0	(0,)		(,1)	1
f′(x)		-	0	+
f(x)	0		極小值-2t		1-3t

由g(x)的性質(zhì)可知，

當(dāng)≤t＜1時(shí)，g(x)的最大值F(t)=-f()=2t．

當(dāng)0＜t＜時(shí)，g(x)的最大值F(t)=f(1)=1-3t．

綜上所述:F(t)=