已知向量
p
=(x,a-3),
q
=(x,x+a),f(x)=
p
q
,且m,n是方程f(x)=0的兩個實根.
(Ⅰ)求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)g(a)=m3+n3+a3,求g(a)的最小值;
(Ⅲ)給定函數(shù)h(x)=bx+1(b>0),若對任意的x0∈[2,3],總存在x1∈[1,2],使得g(x0)=h(x1),求實數(shù)b的取值范圍.
分析:(I)利用向量的數(shù)量積運算和一元二次方程實數(shù)根與△的關(guān)系即可得出;
(II)利用根與系數(shù)的關(guān)系,g(a)轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出;
(III)利用(II)求出函數(shù)g(x)在x∈[2,3]的值域A,在求出h(x)在x∈[1,2]的值域B,則A⊆B即可得出.
解答:解:(Ⅰ)由題意知:f(x)=
p
q
=x2+(a-3)x+a2-3a
,
∵m、n是方程f(x)=0的兩個實根,
∴△=(a-3)2-4(a2-3a)≥0,
∴-1≤a≤3.
(Ⅱ)由題意知:
m+n=3-a
m•n=a2-3a
,
∴g(a)=m3+n3+a3=(m+n)[(m+n)2-3mn]+a3=(3-a)[(3-a)2-3(a2-3a)]+a3=3a3-9a2+27,a∈[-1,3],
故g'(a)=9a2-18a,
令g'(a)=0,∴a=0或a=2,
從而在[-1,0),(2,3]上g'(a)>0,g(a)為增函數(shù),
在(0,2)上g'(a)<0,g(a)為減函數(shù),
∴a=2為極小值點,∴g(2)=15,又g(-1)=15.
∴g(a)的最小值為15.
(Ⅲ)當(dāng)x0∈[2,3]時,g(x0)∈[15,27],
x1∈[1,2]時,h(x1)∈[b+1,2b+1].
由題意知[15,27]⊆[b+1,2b+1],
b+1≤15
2b+1≥27
,∴13≤b≤14.
點評:熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、一次函數(shù)的單調(diào)性、一元二次方程的解集與根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
p
=(x,a-3),
q
=(x,x+a),f(x)=
p
q

(Ⅰ)若方程f(x)=0在區(qū)間(1,+∞)上有兩實根,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)實數(shù)m、n、r滿足:m、n、r中的某一個數(shù)恰好等于a,且另兩個恰為方程f(x)=0的兩實根,判斷①m+n+r,②m2+n2+r2,③m3+n3+r3是否為定值?若是定值請求出;若不是定值,請把不是定值的表示為函數(shù)g(a),并求g(a)的最小值;
(Ⅲ)給定函數(shù)h(x)=bx+1(b>0),若對任意的x0∈[2,3],總存在x1∈[1,2],使得g(x0)=h(x1),求實數(shù)b的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知向量
p
=
a
+t
b
,
q
=
c
+s
d
(s、t是任意實數(shù)),其中
a
=(1,2),
b
=(3,0),
c
=(1,-1),
d
=(3,2),求向量
p
q
交點的坐標(biāo);
(2)已知
a
=(x+1,0),
b
=(0,x-y),
c
=(2,1),求滿足等式x
a
+
b
=
c
的實數(shù)x、y的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
p
=(-2,1),
q
=(x,-3),且
p
q
,則
p
+
q
的模為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•普寧市模擬)已知向量p=(sinax,sinax),q=(sinax,-cosax),其中a>0,若函數(shù)f(x)=p•q-
1
2
的圖象與直線y=m相切,并且切點的橫坐標(biāo)依次成公差為
π
2
的等差數(shù)列.
(Ⅰ)求a、m的值;
(Ⅱ)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.

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