Question

已知函數(shù)f（x）=msinx+ncosx（x∈R，mn≠0），給出下列命題：
①存在m，n，使f（x）是偶函數(shù)；
②對任意m，n，函數(shù)f（x）圖象過坐標原點；
③函數(shù)f（x）任意兩零點之間的距離為nπ（n∈N^*）；
④任意x∈R，|f（x）|≥f（

3π

4

），則m≤n；
⑤若tanα=

m

n

，則f（α）=±

m2+n2

．
其中正確的是

 

（寫出所有正確命題的編號）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：閱讀型,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：①當m=0，n≠0，f（x）=ncosx才為偶函數(shù)，即可判斷；②當m=n=1，求出f（0），即可判斷；
③運用和差公式化簡f（x），令f（x）=0，求出x，即可判斷；
④任意x∈R，|f（x）|≥f（

3π

4

），即為f（

3π

4

）≤0，解出即可；
⑤求出f（x）的導數(shù)，求出極值點也為最值點，即可判斷．

解答： 解：①當m=0，n≠0，f（x）=ncosx才為偶函數(shù)，故①錯；
②當m=n=1，f（x）=sinx+cosx，f（0）=1，故②錯；
③f（x）=

m2+n2

sin（x+φ）（tanφ=

n

m

），令f（x）=0，則x+φ=kπ，k為整數(shù)，故③對；
④任意x∈R，|f（x）|≥f（

3π

4

），即有

2

2

（m-n）≤0，即m≤n，故④對；
⑤f（x）=msinx+ncosx的導數(shù)為f′（x）=mcosx-nsinx，f′（α）=mcosα-nsinα=0，
tanα=

m

n

，x=α為函數(shù)f（x）的極值點，也為最值點，所以f（α）=±

m2+n2

．故⑤對．
故答案為：③④⑤

點評：本題考查三角函數(shù)的圖象和性質，考查函數(shù)的奇偶性和最值，以及三角和差的正弦，以及函數(shù)零點問題，屬于中檔題．