在平面直角坐標系xOy中,點P到兩點(0,-
3
)
(0,
3
)
的距離之和等于4,設點P的軌跡為C.
(1)寫出C的方程;
(2)設直線y=kx+1與C交于A、B兩點,k為何值時
OA
OB
?
分析:(1)由題意可知P點的軌跡為橢圓,并且得到c=
3
,a=2
,求出b后可得橢圓的標準方程;
(2)把直線方程和橢圓方程聯(lián)立,化為關于x的一元二次方程后得到判別式大于0,然后利用根與系數(shù)關系得到直線和橢圓兩個交點的橫坐標的和與積,寫出兩個向量垂直的坐標表示,最后代入根與系數(shù)的關系后可求得k的值.
解答:解:(1)由條件知:P點的軌跡為焦點在y軸上的橢圓,
其中c=
3
,a=2
,所以b2=a2-c2=4-(
3
)2
=1.
故軌跡C的方程為:
y2
4
+x2=1

(2)設A(x1,y1),B(x2,y2
y=kx+1
y2
4
+x2=1
⇒(kx+1)2+4x2=4,即(k2+4)x2+2kx-3=0
由△=16k2+48>0,可得:
x1+x2=-
2k
k2+4
x1x2=-
3
k2+4

再由
OA
OB
?
OA
OB
=0?x1x2+y1y2=0
,
即(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1=0,
所以
-3(k2+1)
k2+4
-
2k2
k2+4
+1=0
k2=
1
4
⇒k=±
1
2
點評:本題考查了圓錐曲線的軌跡問題,考查了直線和圓錐曲線的關系,直線和圓錐曲線的關系問題,常采用根與系數(shù)的關系來解決,此題屬中檔題.
練習冊系列答案
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在平面直角坐標系xoy中,已知圓心在直線y=x+4上,半徑為2
2
的圓C經(jīng)過坐標原點O,橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a>0)
與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10.
(1)求圓C的方程;
(2)若F為橢圓的右焦點,點P在圓C上,且滿足PF=4,求點P的坐標.

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如圖,在平面直角坐標系xOy中,銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A,B兩點.若點A的橫坐標是
3
5
,點B的縱坐標是
12
13
,則sin(α+β)的值是
16
65
16
65

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在平面直角坐標系xOy中,若焦點在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1
的離心率為
1
2
,則m的值為
4
4

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•泰州三模)選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系xOy中,已知A(0,1),B(0,-1),C(t,0),D(
3t
,0)
,其中t≠0.設直線AC與BD的交點為P,求動點P的軌跡的參數(shù)方程(以t為參數(shù))及普通方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•東莞一模)在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦點為F1(-1,0),且橢圓C的離心率e=
1
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)設橢圓C的上下頂點分別為A1,A2,Q是橢圓C上異于A1,A2的任一點,直線QA1,QA2分別交x軸于點S,T,證明:|OS|•|OT|為定值,并求出該定值;
(3)在橢圓C上,是否存在點M(m,n),使得直線l:mx+ny=2與圓O:x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點A、B,且△OAB的面積最大?若存在,求出點M的坐標及對應的△OAB的面積;若不存在,請說明理由.

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