設數(shù)列an的前n項的和為Sn,a1=1,2Sn=(n+1)an+1-1
(1)求數(shù)列an的通項公式;
(3)求證:數(shù)列
是等比數(shù)列;
(3)設數(shù)列bn是等比數(shù)列且b1=2,a1,a3,b2成等比數(shù)列,Tm為bn的前m項的和,
,試比較Tm與Pm的大小,并加以證明.
解:(1)當n≥2時,2a
n=2S
n-2S
n-1=(n+1)a
n+1-1-(na
n-1)
即(n+1)a
n+1=(n+2)a
n即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/59654.png)
(2分)
而當n=1時,2S
1=2a
2-1,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/59655.png)
,(3分)
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/59656.png)
而當n=1時,a
1=1符合上式,綜上
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/59657.png)
(4分)
(2)證明:由(1)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/59658.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/59659.png)
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/59660.png)
(6分)
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/59661.png)
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/59662.png)
∴當n≥2時
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/59663.png)
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/59652.png)
是以2為首項
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
為公比的等比數(shù)列..(8分)
(3)由(1)a
3=2
∵a
1,a
3,b
2成等比數(shù)列∴a
1b
2=a
32∴b
2=4
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/59664.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/59665.png)
(9分)
而由(2)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/59666.png)
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/59667.png)
.(10分)
∴P
m-T
m=m•2
m-1-1-(2
m+1-2)=(m-4)•2
m-1+1
當1≤m≤3且n∈N
*時,P
m<T
m當m≥4且n∈N
*時,P
m>T
m(12分)
分析:(1)當n≥2時,2a
n=2S
n-2S
n-1=(n+1)a
n+1-1-(na
n-1),即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/59654.png)
,而當n=1時,2S
1=2a
2-1,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/59656.png)
,當n=1時,a
1=1符合上式,故
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/59657.png)
.
(2)由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/59658.png)
,知
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/59659.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/59660.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/59661.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/59662.png)
,由此能夠證明
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/59652.png)
是以2為首項
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
為公比的等比數(shù)列.
(3)由a
3=2,a
1,a
3,b
2成等比數(shù)列,知b
2=4,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/59664.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/59665.png)
,由此入手能夠得到當1≤m≤3且n∈N
*時,P
m<T
m,當m≥4且n∈N
*時,P
m>T
m.
點評:本題考查數(shù)列的通項公式的求法、等比數(shù)列的證明和數(shù)列前m項和的比較,解題時要認真審題,注意挖掘隱含條件.
練習冊系列答案
相關(guān)習題
科目:高中數(shù)學
來源:
題型:
設數(shù)列a
n的前n項的和為S
n,a
1=1,2S
n=(n+1)a
n+1-1
(1)求數(shù)列a
n的通項公式;
(3)求證:數(shù)列
{2}是等比數(shù)列;
(3)設數(shù)列b
n是等比數(shù)列且b
1=2,a
1,a
3,b
2成等比數(shù)列,T
m為b
n的前m項的和,
Pm=(-3)•2m-1-1,試比較T
m與P
m的大小,并加以證明.
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科目:高中數(shù)學
來源:2012-2013學年江蘇省蘇州市張家港市梁豐高級中學高三(上)周日數(shù)學試卷(6)(解析版)
題型:解答題
已知二次函數(shù)f(x)=ax
2+bx滿足條件:①f(0)=f(1);②f(x)的最小值為
![](http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131202111446793564837/SYS201312021114467935648016_ST/0.png)
.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)設數(shù)列{a
n}的前n項積為T
n,且
![](http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131202111446793564837/SYS201312021114467935648016_ST/1.png)
,求數(shù)列{a
n}的通項公式;
(3)在(2)的條件下,求數(shù)列{na
n}的前n項的和.
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科目:高中數(shù)學
來源:2012-2013學年江蘇省蘇州市張家港市梁豐高級中學高三(上)周日數(shù)學試卷(6)(解析版)
題型:解答題
已知二次函數(shù)f(x)=ax
2+bx滿足條件:①f(0)=f(1);②f(x)的最小值為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103100245980572391/SYS201311031002459805723016_ST/0.png)
.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)設數(shù)列{a
n}的前n項積為T
n,且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103100245980572391/SYS201311031002459805723016_ST/1.png)
,求數(shù)列{a
n}的通項公式;
(3)在(2)的條件下,求數(shù)列{na
n}的前n項的和.
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科目:高中數(shù)學
來源:2010年湖南省益陽市箴言中學高考數(shù)學一模試卷(文科)(解析版)
題型:解答題
已知二次函數(shù)f(x)=ax
2+bx滿足條件:①f(0)=f(1);②f(x)的最小值為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125515936112338/SYS201310251255159361123020_ST/0.png)
.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)設數(shù)列{a
n}的前n項積為T
n,且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125515936112338/SYS201310251255159361123020_ST/1.png)
,求數(shù)列{a
n}的通項公式;
(3)在(2)的條件下,求數(shù)列{na
n}的前n項的和.
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科目:高中數(shù)學
來源:2011年江蘇省誠賢中學高三數(shù)學試卷(解析版)
題型:解答題
已知二次函數(shù)f(x)=ax
2+bx滿足條件:①f(0)=f(1);②f(x)的最小值為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125031097898875/SYS201310251250310978988017_ST/0.png)
.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)設數(shù)列{a
n}的前n項積為T
n,且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125031097898875/SYS201310251250310978988017_ST/1.png)
,求數(shù)列{a
n}的通項公式;
(3)在(2)的條件下,求數(shù)列{na
n}的前n項的和.
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