本小題滿分14分)

(Ⅰ)已知函數(shù),其中為有理數(shù),且. 求的最小值;

(Ⅱ)試用(Ⅰ)的結(jié)果證明如下命題:設(shè),為正有理數(shù). 若,則;

(Ⅲ)請(qǐng)將(Ⅱ)中的命題推廣到一般形式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題.

注:當(dāng)為正有理數(shù)時(shí),有求導(dǎo)公式.

 

【答案】

詳見(jiàn)解析

【解析】本題主要考察利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,并結(jié)合推理,考察數(shù)學(xué)歸納法,對(duì)考生的歸納推理能力有較高要求。

(Ⅰ),令,解得.

當(dāng)時(shí),,所以內(nèi)是減函數(shù);

當(dāng)  時(shí),,所以內(nèi)是增函數(shù).

故函數(shù)處取得最小值.                               

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,當(dāng)時(shí),有,即   ①

,中有一個(gè)為0,則成立;

,均不為0,又,可得,于是

在①中令,,可得,

,亦即.

綜上,對(duì),為正有理數(shù)且,總有.   ②

    

 

(Ⅲ)(Ⅱ)中命題的推廣形式為:

設(shè)為非負(fù)實(shí)數(shù),為正有理數(shù).

,則.            ③    

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:

(1)當(dāng)時(shí),,有,③成立.                      

(2)假設(shè)當(dāng)時(shí),③成立,即若為非負(fù)實(shí)數(shù),為正有理數(shù),

,則.                

當(dāng)時(shí),已知為非負(fù)實(shí)數(shù),為正有理數(shù),

,此時(shí),即,于是

=.

,由歸納假設(shè)可得

從而.

又因,由②得

,

從而.

故當(dāng)時(shí),③成立.

由(1)(2)可知,對(duì)一切正整數(shù),所推廣的命題成立.                   

說(shuō)明:(Ⅲ)中如果推廣形式中指出③式對(duì)成立,則后續(xù)證明中不需討論的情況.

 

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3
sin2x+2sin(
π
4
+x)cos(
π
4
+x)

(I)化簡(jiǎn)f(x)的表達(dá)式,并求f(x)的最小正周期;
(II)當(dāng)x∈[0,
π
2
]  時(shí),求函數(shù)f(x)
的值域.

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(Ⅰ)寫(xiě)出銷(xiāo)售額關(guān)于第天的函數(shù)關(guān)系式;

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⑶ 證明:

 

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