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已知關于x的函數f(x)=
ax-aex
(a≠0)
（Ⅰ）當a=-1時，求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數F（x）=f（x）+1沒有零點，求實數a取值范圍．
分析：（Ⅰ）a=-1時，求函數f（x）的導數，利用導數判定f（x）的單調性與極值并求出；
（Ⅱ）求F（x）的導數，利用導數判定F（x）的單調性與極值，從而確定使F（x）沒有零點時a的取值．
解答：解：（Ⅰ）f′(x)=
-aex(x-2)
(ex)2
=
-a(x-2)
ex
，x∈R．
當a=-1時，f（x），f'（x）的情況如下表：
x （-∞，2） 2 （2，+∞）
f'（x） - 0 +
f（x） ↘ 極小值 ↗
所以，當a=-1時，函數f（x）的極小值為-e-2．
（Ⅱ）F′(x)=f′(x)=
-a(x-2)
ex
．
①當a＜0時，F（x），F'（x）的情況如下表：
x （-∞，2） 2 （2，+∞）
f'（x） - 0 +
f（x） ↘ 極小值 ↗
因為F（1）=1＞0，
若使函數F（x）沒有零點，需且僅需F(2)=
a
e2
+1＞0，解得a＞-e2，
所以此時-e2＜a＜0；
②當a＞0時，F（x），F'（x）的情況如下表：
x （-∞，2） 2 （2，+∞）
f'（x） + 0 -
f（x） ↗ 極大值 ↘
因為F（2）＞F（1）＞0，且F(1-
10
a
)=
e1-
10
a
-10
e1-
10
a
＜
e-10
e1-
10
a
＜0，
所以此時函數F（x）總存在零點．
綜上所述，所求實數a的取值范圍是{a|-e2＜a＜0}．
點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性與極值情況，以及根據函數的單調性和極值討論函數的零點問題，是易錯題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知關于x的函數f（x）=-
1
3
x3+bx2+cx+bc，其導函數為f′（x）．令g（x）=|f′（x）|，記函數g（x）在區(qū)間[-1、1]上的最大值為M．
（Ⅰ）如果函數f（x）在x=1處有極值-
4
3
，試確定b、c的值：
（Ⅱ）若|b|＞1，證明對任意的c，都有M＞2
（Ⅲ）若M≧K對任意的b、c恒成立，試求k的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知關于x的函數f（x）=-
1
3
x3+bx2+cx+bc，如果函數f（x）在x=1處有極值-
4
3
，試確定b、c的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知關于x的函數f（x）=x2+2ax+b（其中a，b∈R）
（Ⅰ）求函數|f（x）|的單調區(qū)間；
（Ⅱ）令t=a2-b．若存在實數m，使得|f(m)|≤
1
4
與|f(m+1)|≤
1
4
同時成立，求t的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知關于x的函數f（x）=mx-1，（其中m＞1），設a＞b＞c＞1，則
f(a)
a
，
f(b)
b
，
f(c)
c
的大小關系是（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知關于x的函數f（x）=（-2a+3b-5）x+8a-5b-1．如果x∈[-1，1]時，其圖象恒在x軸的上方，則
b
a
的取值范圍是
(-∞，
3
2
)∪(3，+∞)
(-∞，
3
2
)∪(3，+∞)
．

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