Question

(理)設(shè)關(guān)于x的方程x²-mx-1=0有兩個實根α、β,且α＜β.定義函數(shù)f(x)=.

(1)求αf(α)+βf(β)的值;

(2)判斷f(x)在區(qū)間(α,β)上的單調(diào)性,并加以證明;

(3)若λ、μ為正實數(shù),證明不等式:|f()-f()|＜|α-β|.

(文)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知動點P(x,y),PM⊥y軸,垂足為M,點N與點P關(guān)于x軸對稱,且=4.

(1)求動點P的軌跡W的方程;

(2)若點Q的坐標(biāo)為(2,0),A、B為W上的兩個動點,且滿足QA⊥QB,點Q到直線AB的距離為d,求d的最大值.

Answer 1

答案：(理)解：(1)∵α、β是方程x²-mx-1=0的兩個實根,

∴∴f(α)=.

同理,f(β)=.∴αf(α)+βf(β)=2.

(2)∵f(x)=,∴f′(x)==.

當(dāng)x∈(α,β)時,x²-mx-1=(x-α)(x-β)＜0,

∴f′(x)＞0.∴f(x)在(α,β)上為增函數(shù).

(3)∵λ,μ∈R⁺,且α＜β,∴

.∴α＜＜β.

由(2)可知f(α)＜f()＜f(β),同理,可得f(α)＜f()＜f(β).

∴f(α)-f(β)＜f()-f()＜f(β)-f(α).

∴|f()-f()|＜|f(α)-f(β)|.

又由(1)知f(α)=,f(β)=,αβ=-1,

∴|f(α)-f(β)|=|-|=||=|α-β|.∴|f()-f()|＜|α-β|.

(文)解：(1)由已知M(0,y),N(x,-y).

則=(x,y)·(x,-2y)=x²-2y²=4,即=1.

(2)設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),如圖,由QA⊥QB可得,

=(x₁-2,y₁)·(x₂-2,y₂)=(x₁-2)(x₂-2)+y₁y₂=0.

①若直線AB⊥x軸,則x₁=x₂,|y₁|=|y₂|=,且y₁、y₂異號,此時(x₁-2)(x₂-2)+y₁y₂=(x₁-2)²=0則x₁²-8x₁+12=0,

解之,得x₁=6或x₁=2.若x₁=2,則直線AB過Q點,不可能有QA⊥QB.

若x₁=6,則直線AB的方程為x=6,此時Q點到直線AB的距離為4.

②若直線AB斜率存在,設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,則

(2k²-1)x²+4kmx+2m²+4=0.

則即

又x₁+x₂=,x₁x₂=.

∴y₁y₂=(kx₁+m)(kx₂+m)=k²x₁x₂+km(x₁+x₂)+m²

=.

∴=(x₁-2,y₁)·(x₂-2,y₂)=(x₁-2)(x₂-2)+y₁y₂=x₁x₂-2(x₁+x₂)+4+y₁y₂

=

則m²+8km+12k²=0,可得m=-6k或m=-2k.若m=-2k,則直線AB的方程為y=k(x-2),此直線過點Q,這與QA⊥QB矛盾,故舍去.若m=-6k,則直線AB的方程為y=kx-6k,即kx-y-6k=0.

此時若k=0,則直線AB的方程為y=0,顯然與QA⊥QB矛盾,故k≠0.

∴d=.

由①②可得,d_max=4.

說明:其他正確解法按相應(yīng)步驟給分.