在如圖的直三棱柱中，，點(diǎn)是的中點(diǎn).

(1)求證：∥平面；

(2)求異面直線與所成的角的余弦值；

(3)求直線與平面所成角的正弦值；

 

【答案】

（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量證明，進(jìn)而用線面平行的判定定理即可證明；

（2）

（3）

【解析】

試題分析：因?yàn)橐阎比庵牡酌嫒叿謩e是3、4、5，

所以兩兩互相垂直，

如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn),直線分別為軸、軸、軸

建立空間直角標(biāo)系，                                                     ……2分

則，，.

（1）設(shè)與的交點(diǎn)為，連接,則

則 

∴∥， ∵內(nèi)，平面

∴∥平面 ；                                                  ……4分

（2）∵ ∴，

.                              ……6分

∴；

∴所求角的余弦值為 .                                             ……8分

（3）設(shè)平面的一個(gè)法向量，則有：

，解得，.                                    ……10分

設(shè)直線與平面所成角為. 則，

所以直線與平面所成角的正弦值為.                 ……12分

（其它方法仿此酌情給分）

考點(diǎn)：本小題主要考查線面平行，異面直線所成的角和線面角.

點(diǎn)評(píng)：解決立體幾何問(wèn)題，可以用判定定理和性質(zhì)定理，也可以建立空間直角坐標(biāo)系用向量方法證明，但是用向量方法時(shí)，也要依據(jù)相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理，定理中需要的條件要一一列舉出來(lái)，一個(gè)也不能少.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（08年濰坊市六模） （12分） 如圖，直三棱柱中，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，

  AC＝2a，＝3a，D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)．

 

　�。�1）求直線BE與所成的角；

　　（2）在線段上是否存在點(diǎn)F，使CF⊥平面，若存在，求出；若不存在，說(shuō)明理由．

 

　　

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2015屆江蘇省江陰市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，直三棱柱中，、分別是棱、的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，已知，，．

（1）求證：平面；

（2）設(shè)點(diǎn)在棱上，當(dāng)為何值時(shí)，平面平面？

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年河北省唐山市高三第二次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，直三棱柱中，AB=BC，，Q是AC上的點(diǎn)，AB1//平面BC1Q.

（Ⅰ）確定點(diǎn)Q在AC上的位置;

（Ⅱ）若QC1與平面BB1C1C所成角的正弦值為，求二面角Q－BC1—C的余弦值.

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013屆江蘇省高二下期中理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，直三棱柱中， ，. 分別為棱的中點(diǎn).

（1）求二面角的平面角的余弦值；

（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平？

若存在，確定其位置；若不存在，說(shuō)明理由.

 

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案