Question

已知：函數(shù)f（x）是定義在[-1，0）∪（0，1]上的偶函數(shù)，當x∈[-1，0）時，f（x）=x³-ax（a為實數(shù)）．
（1）當x∈（0，1]時，求f（x）的解析式；
（2）若a＞3，試判斷f（x）在（0，1]上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（3）是否存在a，使得當x∈（0，1]時，f（x）有最大值1？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）當x∈（0，1]時，求f（x）的解析式；求哪段上的函數(shù)解析式，就在哪個區(qū)間上任意取x，則-x在對稱的區(qū)間上，根據(jù)對稱區(qū)間上的解析式及奇偶性求得．
（2）若a＞3，試判斷f（x）在（0，1]上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；三次函數(shù)判斷單調(diào)性可利用其導函數(shù)在（0，1）上的對應(yīng)值的正負來判斷．
（3）是否存在a，使得當x∈（0，1]時，f（x）有最大值1？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由，分析f′（x）=-3x²+a由x∈（0，1]∴-3x²∈[-3，0），故根據(jù)f′（x）的正負可將a分為a＞3，0＜a＜3，a＜0三種情況分類討論即可．

解答：解：（1）設(shè)x∈（0，1]，則-x∈[-1，0），∴f（-x）=-x³+ax 
又∵f（x）是偶函數(shù)，f（-x）=f（x）
∴f（x）=-x³+ax，x∈（0，1]
（2）f′（x）=-3x²+a，
∵x∈（0，1]∴-3x²∈[-3，0），
又∵a＞3∴a-3x²＞0即f′（x）＞0
∴f（x）在（0，1]上為增函數(shù)．
（3）當a＞3時，f（x）在（0，1]上是增函數(shù)，
∴f_max=f（1）=a-1=1∴a=2，（不合題意，舍去）
當0≤a≤3時，f′（x）=a-3x²，令f′（x）=0，∴x=

a 3

如下表：

x	（0， a 3 ）	a 3	（ a 3 ，1）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗	最大值	↘

∴f（x）在x=

a 3

處取得最大值-(

a 3

)3+a

a 3

=1          
∴a=

3	27 4

＜3∴x=

a 3

＜1，滿足條件
當a＜0時，f′（x）=a-3x²＜0
f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，f（x）在（0，1]無最大值．
∴存在a=

3	27 4

，使f（x）在（0，1]上有最大值1．

點評：本題考查了三次函數(shù)的單調(diào)性問題，需要借助導數(shù)來研究．要注意前一問往往為后一問提供解題思路，在第3問中分類是解決問題的難點和關(guān)鍵．