Question

1．如圖，ABC-A'B'C'為三棱柱，M為CC的中點，N為AB的中點，AA'=2，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．
（1）求證：CN∥平面AB'M；
（2）求平面AB'M與平面BB'C所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取A′B′的中點E，連接EC′，EN，由已知可得AB′，EN共面，設AB′∩EN=F，連接FM，可得NF∥CM，NF=CM，從而得到CN∥FM，然后利用線面平行的判定可得CN∥平面AB'M；
（2）在三角形ABC中，由余弦定理可得AC²，由AC²+BC²=AB²，得AC⊥CB，建立如圖所示空間直角坐標系，求出所用點的坐標，得到平面AB′M與平面BCC′B′的一個法向量，利用兩法向量所成角的余弦值可得平面AB'M與平面BB'C所成的銳二面角的余弦值．

解答 （1）證明：如圖，取A′B′的中點E，連接EC′，EN，
∵ABC-A′B′C′為直三棱柱，∴ABB′A′為矩形，則AB′，EN共面，
設AB′∩EN=F，連接FM，
則EN∥BB′∥CC′，且F為AB′的中點．
又∵M為CC′的中點，
∴NF∥CM，NF=CM，則CN∥FM，
而MF?平面AB'M，CN?平面AB'M，
∴CN∥平面AB'M；
（2）解：在三角形ABC中，由余弦定理可得：
AC²=AB²+BC²-2AB×BC×cosB=2²+1²-2×2×1×cos60°=3．
∴AC²+BC²=AB²，則AC⊥CB．
建立如圖所示空間直角坐標系，
則C（0，0，0），A（$\sqrt{3}，0，0$），B′（0，1，2），M（0，0，1），
∴$\overrightarrow{AB′}=（-\sqrt{3}，1，2）$，$\overrightarrow{AM}=（-\sqrt{3}，0，1）$，
設平面AB′M的一個法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$．
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB′}=-\sqrt{3}x+y+2z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=-\sqrt{3}x+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}=（1，-\sqrt{3}，\sqrt{3}）$．
∵AC⊥平面BCC′B′，∴可取平面BCC′B′的一個法向量$\overrightarrow{n}=（1，0，0）$．
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{1}{\sqrt{7}×1}=\frac{\sqrt{7}}{7}$
∴平面AB'M與平面BB'C所成的銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用空間向量求二面角的平面角，是中檔題．