Question

)已知雙曲線C的兩條漸近線都過原點，且都以點A(，0)為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線的一個頂點A₁與A點關于直線y=x對稱.

(1)求雙曲線C的方程.

(2)設直線l過點A，斜率為k,當0＜k＜1時，雙曲線C的上支上有且僅有一點B到直線l的距離為，試求k的值及此時B點的坐標.

Answer 1

(1)雙曲線C的方程為x²－y²=2.(2) B(2,).

解析:

1)設雙曲線的漸近線為y=kx,由d==1,解得k=±1.

即漸近線為y=±x,又點A關于y=x對稱點的坐標為(0，).

∴a==b,所求雙曲線C的方程為x²－y²=2.

(2)設直線l：y=k(x－)(0＜k＜1,依題意B點在平行的直線l′上，且l與l′間的距離為.

設直線l′：y=kx+m,應有,化簡得m²+2km=2.                ②

把l′代入雙曲線方程得(k²－1)x²+2mkx+m²－2=0,

由Δ=4m²k²－4(k²－1)(m²－2)=0.可得m²+2k²=2                                                            ③

②、③兩式相減得k=m,代入③得m²=,解設m=,k=,此時x=,y=.故B(2,).