【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB4,AD2ECD的中點,現(xiàn)以AE為折痕將△DAE向上折起,D變?yōu)?/span>D',使得平面D'AE⊥平面ABCE

1)求證:平面ABD'⊥平面BD'E;

2)求直線CE與平面BCD'所成角的正弦值.

【答案】1)見解析(2

【解析】

(1)證明AEBE,BEAD',結(jié)合DEAD,推出AD⊥面BDE,然后明面ABD⊥面BDE

(2)建立空間直角坐標系,求出平面BCD的法向量,利用空間向量的數(shù)量積求解直線CE與平面BCD'所成角的正弦值即可.

1)證明:AEBE,AB4,

AB2AE2+BE2,∴AEBE,

∵平面DAE⊥平面ABCE,且交線為AE

BE⊥平面D'AE,又平面,∴BEAD',

DEAD,AEDEE,∴AD⊥面BDE,∵ADABD,

∴面ABD⊥面BDE

2)解:取中點為,連接,因為,則,又平面DAE⊥平面ABCE,且交線為AE,所以平面ABCE,

如圖建立空間直角坐標系,

A(4,20)、C(0,0,0)、B(0,2,0)、,E(20,0),

從而2,00),

設(shè)為平面BCD的法向量,

,取,則,所以

,

故直線CE與平面所成角的正弦值為

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所成角的最小值為45°

所成角的最大值為90°

其中正確的是(

A.①③B.②④C.①③④D.②③④

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