Question

第一屆全國青年運動會將于2015年10月18日在福州舉行．主辦方在建造運動會主體育場時需建造隔熱層，并要求隔熱層的使用年限為15年．已知每厘米厚的隔熱層建造成本是4萬元，設每年的能源消耗費用為C（萬元），隔熱層厚度為x（厘米），兩者滿足關系式：C（x）=

k

2x+5

（0≤x≤10，k為常數）．若無隔熱層，則每年的能源消耗費用為6萬元.15年的總維修費用為10萬元．記f（x）為15年的總費用．（總費用=隔熱層的建造成本費用+使用15年的能源消耗費用+15年的總維修費用）
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）請問當隔熱層的厚度為多少厘米時，15年的總費用f（x）最小，并求出最小值．

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應用

專題：應用題,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）由每年的能源消耗費用為C（x），當x=0時，可得k的值；又加裝隔熱層的費用為C₁（x），所以總費用函數f（x）可表示出來，其定義域可得；
（Ⅱ）對函數f（x）變形，利用基本不等式求得最值，即得所求．

解答： 解：（Ⅰ）依題意，當x=0時，C=6，∴6=

k

5

，∴k=30
故C(x)=

30

2x+5

…（3分）
f(x)=4x+

30

2x+5

•15+10=4x+

450

2x+5

+10，(0≤x≤10)…（6分）
（Ⅱ）f(x)=4x+

450

2x+5

+10=(4x+10)+

450

2x+5

=2(2x+5)+

450

2x+5

≥2

2(2x+5)• 450 2x+5

=60…（10分）
當且僅當2(2x+5)=

450

2x+5

，即當x=5時取得最小值，
∴隔熱層修建5厘米厚時，總費用達到最小值，最小值為60萬元．…（12分）

點評：本題考查了平均值不等式在函數極值中的應用，在利用平均值不等式求最值時，要注意等號成立的條件是什么．