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16.已知函數(shù)f(x)=12x2+1axalnx
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)設(shè)a>0,證明:當(dāng)0<x<a時,f(x+a)<f(a-x);
(3)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個零點,證明:f′(x1+x22)>0.

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)性即可;
(2)令g(x)=f(a+x)-f(a-x),求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而證出結(jié)論即可;
(3)得到a>0,從而f(x)的最小值是f(a),且f(a)<0,不妨設(shè)0<x1<x2,則0<x1<a<x2,得到0<a-x1<a,根據(jù)(1),(2)結(jié)論判斷即可.

解答 解:(1)f(x)的定義域是(0,+∞),
f′(x)=x+1-a-ax=x+1xax,
若a≤0,則f′(x)>0,此時f(x)在(0,+∞)遞增,
若a>0,則由f′(x)=0,解得:x=a,
當(dāng)0<x<a時,f′(x)<0,
當(dāng)x>a時,f′(x)>0,
此時f(x)在(0,a)遞減,在(a,+∞)遞增;
(2)令g(x)=f(a+x)-f(a-x),
則g(x)=2x-aln(a+x)+aln(a-x),
g′(x)=2-aa+x-aax=-2x2a2x2,
當(dāng)0<x<a時,g′(x)<0,g(x)在(0,a)遞減,
而g(0)=0,故g(x)<g(0)=0,
故0<x<a時,f(a+x)<f(a-x);
(3)證明:由(1)得,a≤0時,函數(shù)y=f(x)至多有1個零點,
故a>0,從而f(x)的最小值是f(a),且f(a)<0,
不妨設(shè)0<x1<x2,則0<x1<a<x2,
∴0<a-x1<a,
由(2)得:f(2a-x1)=f(a+a-x1)<f(x1)=0,
從而x2>2a-x1,于是x1+x22>a,
由(1)得:f′(x1+x22)>0.

點評 本題考查了利用導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性、分類討論、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識與基本技能方法,屬于難題.

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