Question

已知f（x）=x+

a

x

，且f（1）=2．
（1）求a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調性，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）利用已知函數(shù)，結合f（1）=2，可求a的值；
（2）先確定函數(shù)的定義域，再利用函數(shù)奇偶性的定義，即可判斷；
（3）利用函數(shù)單調性的定義，判斷f（x₁）-f（x₂）的符號時，進行分類討論即可．

解答：解：（1）∵f（x）=x+

a

x

，且f（1）=2
∴1+a=2
∴a=1…（2分）
（2）函數(shù)f（x）=x+

1

x

的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）
∵f（-x）=-x-

1

x

=-（x+

1

x

）=-f（x）
∴f（x）為奇函數(shù)…（4分）
（3）函數(shù)f（x）在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)，證明如下
設任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，…（5分）
則f(x1)-f(x2)=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

…（7分）
∵x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，且x₁x₂＞0
所以當x∈（0，1）時，x₁x₂＜1，即x₁x₂-1＜0，
此時f（x₁）＞f（x₂），f（x）為減函數(shù)…（8分）
當x∈（1，+∞）時，x₁x₂＞1，即x₁x₂-1＞0，
此時f（x₁）＜f（x₂），f（x）為增函數(shù)…（9分）
所以函數(shù)f（x）在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)…（10分）

點評：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)的單調性，正確運用定義，合理分類是關鍵．