Question

（14分）如圖，圓柱內(nèi)有一個三棱柱,三棱柱的  底面為圓柱

底面的內(nèi)接三角形，且是圓的直徑。

（I）證明：平面平面；

（II）設(shè)，在圓柱內(nèi)隨機選取一點，記該點取自三棱柱內(nèi)的概率為。

（i）當(dāng)點在圓周上運動時，求的最大值；

（ii）如果平面與平面所成的角為。當(dāng)取最大值時，求的值。

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）因為平面ABC，平面ABC，所以，

因為AB是圓O直徑，所以，又，所以平面，

而平面，所以平面平面。

（Ⅱ）（i）設(shè)圓柱的底面半徑為，則AB=，故三棱柱的體積為

=，

 

又因為，

 

所以=，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，

 

從而，而圓柱的體積，

故=當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，

 

所以的最大值是。

 

（ii）由（i）可知，取最大值時，，于是以O(shè)為坐標原點，建立空間直角坐標系（如圖），則C（r，0，0），B（0，r，0），（0，r，2r），

因為平面，所以是平面的一個法向量，

設(shè)平面的法向量，

由，故，

 

取得平面的一個法向量為，因為，

所以。

 

【解析】略