如圖,已知四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,PA⊥平面ABCD,∠BCD=60°,BC=1,E為CD的中點,PC與平面ABCD成60°角.
(1)求證:平面EPB⊥平面PBA;
(2)求二面角P-BD-A 的余弦值.
分析:(1)證明BE⊥AB,由PA⊥平面ABCD,可得PA⊥BE,所以BE⊥面PAB,由此能夠證明面PBE⊥面PAB;
(2)連AC,BD交于O,則∠POA為二面角P-BD-A的平面角,從而可得結論.
解答:(1)證明:∵E為CD的中點,BC=1,ABCD為菱形,∴CE=
1
2

又∠BCD=60°,
∴∠BEC=90°,∴BE⊥AB,
又PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BE,
∵PA?面PAB,AB?面PAB,PA∩AB=A,
∴BE⊥面PAB,
∵BE?面PBE,
∴面PBE⊥面PAB.   
(2)解:連AC,BD交于O,則AO⊥BD
∵PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,
∴PO⊥BD
∴∠POA為二面角P-BD-A的平面角,
∵PC與平面ABCD成60°角,
∴∠POA=60°
∵∠BCD=60°,BC=1,
∴AC=2
3
,AD=
3

∴PA=6,PO=
39

∴cos∠POA=
3
39
=
13
13
點評:本題考查線面垂直,考查面面垂直,考查面面角,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖:已知四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,ABCD是正方形,E是PA的中點,
求證:
(1)PC∥平面EBD.
(2)平面PBC⊥平面PCD.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD為菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E、F分別是BC、PC的中點.
(1)證明:AE⊥PD;
(2)設AB=2,若H為線段PD上的動點,EH與平面PAD所成的最大角的正切值為
6
2
,求AP的長度.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形,∠BCD=60°,PD⊥AD.點E是BC邊上的中點.
(1)求證:AD⊥面PDE;
(2)若二面角P-AD-C的大小等于60°,且AB=4,PD=
8
3
3
;①求VP-ABED; ②求二面角P-AB-C大。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•崇明縣二模)如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,E、F分別是BC,PC的中點,AB=2,AP=2.
(1)求證:BD⊥平面PAC;
(2)求二面角E-AF-C的大小.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•吉林二模)如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面是正方形,PA⊥面ABCD,且PA=AD=2,點M,N分別在PD,PC上,
PN
=
1
2
NC
,PM=MD.
(Ⅰ) 求證:PC⊥面AMN;
(Ⅱ)求二面角B-AN-M的余弦值.

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