Question

3．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1-a_n=1，a₁=1，等比數(shù)列{b_n}，記數(shù)列 {b_n}的前n項和為S_n，且b₂=$\frac{16}{25}$，S₂=$\frac{36}{25}$．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式．
（2）設(shè)c_n=a_n-b_n，問數(shù)列{c_n}是否存在最大項？若存在，求出最大項；若不存在請說明理由．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且公差d=1，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式；由等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式列出方程組，求出首項和公比，由此能求出數(shù)列{b_n}的通項公式．
{（2）先求出c_n=（$\frac{4}{5}$）ⁿ•$\frac{4-n}{5}$，當n≤3時，c₄＞c₃＞c₂＞c₁，當n=4時，c₄=c₅，當n≥5時，c₅＞c₆＞c₇＞c₈＞…，由此能求出數(shù)列{c_n}的最大項．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足a_n+1-a_n=1，a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且公差d=1，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．…（2分）
設(shè)等比數(shù)列{b_n}的首項為b₁，公比為q，
∵b₂=$\frac{16}{25}$，S₂=$\frac{36}{25}$，
∴由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{b_2}={b_1}q=\frac{16}{25}\\{S_2}={b_1}+{b_1}q=\frac{36}{25}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b_1}=\frac{4}{5}\\ q=\frac{4}{5}\end{array}\right.$，
∴${b_n}={（\frac{4}{5}）^n}$…（4分）
（2）∵c_n=a_n-b_n，
∴由（1）可得${c_n}=n•{（\frac{4}{5}）^n}$${c_{n+1}}-{c_n}=（n+1）•{（\frac{4}{5}）^{n+1}}-n•{（\frac{4}{5}）^n}={（\frac{4}{5}）^n}\frac{4-n}{5}$…（5分）
當n≤3時，c_n+1＞c_n，
∴c₄＞c₃＞c₂＞c₁，
當n=4時，c_n+1=c_n，
∴c₄=c₅，
當n≥5時，c_n+1＜c_n，
∴c₅＞c₆＞c₇＞c₈＞…（8分）
∴數(shù)列{c_n}的最大項為${c_4}=\frac{1024}{625}$或${c_5}=\frac{1024}{625}$．…（9分）

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．