Question

已知橢圓的離心率為，直線與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，直線過點(diǎn)，且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線垂直于，垂足為點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡的方程；
（3）設(shè)與軸交于點(diǎn)，不同的兩點(diǎn)在上（與也不重合），且滿足，求的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)，以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查運(yùn)算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問，利用直線與圓相切列出距離公式，求出橢圓中的基本量，比較簡(jiǎn)單；第二問，考查拋物線的定義，本問主要考查理解題意的能力；第三問，與向量相結(jié)合，再加上基本不等式求最值.
試題解析：（1）由直線與圓相切，得，即.
由，得，所以，所以橢圓的方程是. （4分）
（2）由條件，知，即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于它到直線的距離，由拋物線的定義得點(diǎn)的軌跡的方程是.（6分）
（3）由（2）知，設(shè)，
∴
由，得，
∵，∴，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
又，
∵，∴當(dāng)，即時(shí)，.
故的取值范圍是.(12分)