(本題滿分10分) 如圖,由y=0,x=8,y=x2圍成的曲邊三角形,在曲線弧OB上求一點(diǎn)M,使得過M所作的y=x2的切線PQ與OA,AB圍成的三角形PQA面積最大。
(,)
解析試題分析:如圖,設(shè)點(diǎn)M(t,t2),容易求出過點(diǎn)M的切線的斜率為2t,即切線方程為y-t2=2t(x-t),(0≤t≤8)
當(dāng)t=0時(shí),切線為y=0,△PQA不存在,所以(0<t≤8).
在切線方程中令y=0,得到P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,令x=8,得到Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為16t-t2
所以S△PQA=(8-)(16t-t2),
令S′(t)=(8-)(8-)=0;
解可得得t=16(舍去)或t=;
由二次函數(shù)的性質(zhì)分析易得,
t=是S△PQA=(8-)(16t-t2)的極大值點(diǎn);
從而當(dāng)t=時(shí),面積S(t)有最大值Smax=S()=,此時(shí)M(,)
考點(diǎn):本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題。
點(diǎn)評(píng):本題符合高考考試大綱,是一道頗具代表性的題目。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),設(shè)曲線在與軸交點(diǎn)處的切線為,為的導(dǎo)函數(shù),滿足.
(1)求的單調(diào)區(qū)間.
(2)設(shè),,求函數(shù)在上的最大值;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)(a為實(shí)常數(shù)).
(1)若,求證:函數(shù)在(1,+.∞)上是增函數(shù);
(2)求函數(shù)在[1,e]上的最小值及相應(yīng)的值;
(3)若存在,使得成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分15分)
若函數(shù)在時(shí)取得極值,且當(dāng)時(shí),恒成立.
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),(為自然對數(shù)的底數(shù))。
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值;
(2)若對任意給定的,在上總存在兩個(gè)不同的,使得成立,求的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知,其中是自然對數(shù)的底數(shù),
(1)討論時(shí),的單調(diào)性。
(2)求證:在(1)條件下,
(3)是否存在實(shí)數(shù),使得最小值是3,如果存在,求出的值;如果不存在,說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分14分)已知函數(shù),函數(shù)的最小值為,
(1)當(dāng)時(shí),求
(2)是否存在實(shí)數(shù)同時(shí)滿足下列條件:①;②當(dāng)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/22/d/1vcsg4.png" style="vertical-align:middle;" /> 時(shí),值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d9/c/1beqn3.png" style="vertical-align:middle;" />?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知函數(shù).
(Ⅰ)討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(Ⅱ)若函數(shù)在處取得極值,對,恒成立,
求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)當(dāng)且時(shí),試比較的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本題滿分12分)
已知a∈R,函數(shù)f(x)=4x3-2ax+a.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)證明:當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)+|2-a|>0.
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