Question

已知函數(shù)f(x)=|x-a|.

（Ⅰ）若不等式f(x)≥3的解集為{x|x≤1或x≥5}，求實(shí)數(shù)a的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若f(x)+f(x+4)≥m對一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）由f(x)≥3得|x-a|≥3，解得x≤a-3或x≥a+3．

又已知不等式f(x)≥3的解集為{x|x≤-1或x≥5}，所以，解得a=2.……5分

（Ⅱ）當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=|x-2|，設(shè)g(x)=f(x)+f(x+4)，

于是g(x)=|x-2|+|x+2|=[JB({]-2x,x＜-24，-2≤x≤22x，x＞2[JB)]　所以當(dāng)x＜-2時(shí)，g(x)＞4；當(dāng)-2≤x≤2時(shí)，g(x)=4；當(dāng)x＞2時(shí)，g(x)＞4。

綜上可得，g(x)的最小值為4．

從而若f(x)+f(x+4)≥m，即g(x)≥m對一切實(shí)數(shù)x恒成立，則m的取值范圍為（-∞,4］．

法二：（Ⅰ）同法一．

（Ⅱ）當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=|x-2|．設(shè)g(x)=f(x)+f(x+4)．

由|x-2|+|x+2|≥|（x-2）-（x+2）|=4（當(dāng)且僅當(dāng)-2≤x≤2時(shí)等號成立），得g(x)的最小值為4．從而，若f(x)+f(x+4)≥m，即g(x)≥m對一切實(shí)數(shù)x恒成立．則m的取值范圍為(-∞,4］?

【解析】略