Question

設a為實數，設函數的最大值為g（a）。
（1）設t=，求t的取值范圍，并把f（x）表示為t的函數m（t）；
（2）求g（a）；
（3）試求滿足的所有實數a。

Answer 1

解：（1）∵
∴要使t有意義，必須且，即
∵
∴t的取值范圍是
由①得
∴。
（2）由題意知即g（a）為函數的最大值
（i）當a>0，函數的圖像是開口向上的拋物線的一段，
由知m（t）在上單調遞增
∴
（ii）當a=0時，m（t）=t，，
∴。
（iii）當a＜0時，函數y=m（t），的圖像是開口向下的拋物線的一段
若即
則
若，即
則
若，即，則
綜上有。
（3）情形1：當時，，此時
由解得，與矛盾
情形2：當時，
此時
由解得，與矛盾
情形3：當時，
此時
所以
情形4：當時，
此時，
由解得，與矛盾
情形5：當時，
此時
由解得與矛盾
情形6：當a>0時，
此時
由解得
由知
綜上知，滿足的所有實數a為：
。