18、已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+b的圖象在點P（1，f（1））處的切線為3x+y-3=0．
（1）求函數(shù)f（x）及單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)在區(qū)間[0，t]（t＞0）上的最值．
分析：（1）先根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象在點P（1，f（1））處的切線為3x+y-3=0，求出解析式，然后利用導函數(shù)大于0求出單調(diào)增區(qū)間，導函數(shù)小于0求出單調(diào)減區(qū)間；
（2）討論t與2的大小，根據(jù)函數(shù)在[0，t]上的單調(diào)性研究函數(shù)的最值即可．
解答：解：（1）由P點在切線上得f（1）=0，即點P（1，0）又要在y=f（x）上，
得a+b=-1
又f'（1）=-3?2a=-6故f（x）=x3-3x2+2
f'（x）=3x2-6x，令f'（x）＞0解得x＞2或x＜0，
∴f（x）的增區(qū)間是（-∞，0），（2，+∞），減區(qū)間是（0，2）
（2）當0＜t≤2時，f（x）max=f（0）=2，f（x）min=f（t）=t3-3t2+2
當2＜t≤3時，f（x）max=f（0）=f（3）=2，f（x）min+2=f（2）=-2
當t＞3時，f（x）max=f（t）=t3-3t2+2，f（x）min=f（2）=-2
點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及對函數(shù)單調(diào)性的分類討論，函數(shù)的最值等有關基礎知識，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　�。�
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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