(06年湖南卷文)(14分)

已知橢圓C1,拋物線C2,且C1、C2的公共弦AB過橢圓C1的右焦點.

(Ⅰ)當(dāng)軸時,求p、m的值,并判斷拋物線C2的焦點是否在直線AB上;

。á颍┤且拋物線C2的焦點在直線AB上,求m的值及直線AB的方程.

解析:(Ⅰ)當(dāng)AB⊥x軸時,點A、B關(guān)于x軸對稱,所以m=0,直線AB的方程為

    x=1,從而點A的坐標(biāo)為(1,)或(1,-).

    因為點A在拋物線上,所以,即.

    此時C2的焦點坐標(biāo)為(,0),該焦點不在直線AB上.

   (Ⅱ)解法一 當(dāng)C2的焦點在AB時,由(Ⅰ)知直線AB的斜率存在,設(shè)直線AB的方程為.

消去y得.           ……①

設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x1,y1), (x2,y2),

則x1,x2是方程①的兩根,x1+x2.

因為AB既是過C1的右焦點的弦,又是過C2的焦點的弦,

所以,且

.

從而.

所以,即.

解得.

因為C2的焦點在直線上,所以.

.

當(dāng)時,直線AB的方程為

當(dāng)時,直線AB的方程為.

解法二 當(dāng)C2的焦點在AB時,由(Ⅰ)知直線AB的斜率存在,設(shè)直線AB的方程

.

消去y得.                  ……①

因為C2的焦點在直線上,

所以,即.代入①有.

.                                     ……②

設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x1,y1), (x2,y2),

則x1,x2是方程②的兩根,x1+x2.

消去y得.             ……③

 

由于x1,x2也是方程③的兩根,所以x1+x2.

從而. 解得.

因為C2的焦點在直線上,所以.

.

當(dāng)時,直線AB的方程為;

當(dāng)時,直線AB的方程為.

 解法三 設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x1,y1), (x2,y2),

因為AB既過C1的右焦點,又是過C2的焦點,

所以.

.                                         ……①

由(Ⅰ)知,于是直線AB的斜率,   ……②

且直線AB的方程是,

所以.                                ……③

又因為,所以.         ……④

將①、②、③代入④得,即.

當(dāng)時,直線AB的方程為

當(dāng)時,直線AB的方程為.

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