Question

求函數(shù)y=

x2-2x+2

+

x2-10x+29

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：函數(shù)y=

x2-2x+2

+

x2-10x+29

=

(x-1)2+(0-1)2

+

(x-5)2+(0-2)2

，表示x軸上動(dòng)點(diǎn)P（x，0）到定點(diǎn)A（1，1）和B（5，2）的距離之和，利用對(duì)稱法，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)之間線段最短，可得答案．

解答： 解：∵函數(shù)y=

x2-2x+2

+

x2-10x+29

=

(x-1)2+(0-1)2

+

(x-5)2+(0-2)2

，
表示x軸上動(dòng)點(diǎn)P（x，0）到定點(diǎn)A（1，1）和B（5，2）的距離之和，
作點(diǎn)A（1，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′（1，-1），
則動(dòng)點(diǎn)P（x，0）到定點(diǎn)A（1，1）和B（5，2）的距離之和，
即動(dòng)點(diǎn)P（x，0）到定點(diǎn)A′（1，-1）和B（5，2）的距離之和，
當(dāng)A′，P，B三點(diǎn)共線時(shí)，距離和最小，
∵|A′B|=

(5-1)2+(2+1)2

=5，
故函數(shù)y=

x2-2x+2

+

x2-10x+29

的最小值為5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的最值及其幾何意義，其中分析出函數(shù)y=

x2-2x+2

+

x2-10x+29

，表示x軸上動(dòng)點(diǎn)P（x，0）到定點(diǎn)A（1，1）和B（5，2）的距離之和，是解答的關(guān)鍵．