已知四棱柱ABCD―A1B1C1D1的底面是菱形,且∠DAB=60°,AD=AA1,F(xiàn)為棱BB1的中點(diǎn),M為線段AC1的中點(diǎn)
(Ⅰ)求證:直線MF//平面ABCD;
(Ⅱ)求證:平面AFC1平面ACC1A1;
(Ⅲ)求平面AFC1與平面ABCD所成二面角(銳角)的大小.
方法一:
(Ⅰ)延長C1F交CB的延長線于N,連結(jié)AN因?yàn)镕是BB1的中點(diǎn),所以F為C1N的中點(diǎn),B為CN的中點(diǎn)
又M是線段AC1的中點(diǎn),故MF//AN.
平面
,
平面
,
平面
(Ⅱ)證明:連結(jié)BD,由直四棱柱―A1B1C1D1
可知:A1A平面
,
又平面
四邊形
為菱形,
又平面
,
平面
在四邊形中,
且
,所以四邊形
為平行四邊形
故,
平面
又平面
,
平面
平面
(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面
,又
平面
.
,
.
又由可知
.
就是平面AFC1與平面
所成二面角的平面角.
在中,
,故
.
∴平面與平面
所成二面角的大小為30°.
方法二:設(shè)因?yàn)镸、O分別為
、
的中點(diǎn),所以,
又有直四棱柱知平面
,所以,
平面
.
在菱形中
,所以,
兩兩垂直,故以O(shè)為原點(diǎn)
所在直線分別為
軸、
軸、
軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系,
若設(shè),則
,
,
,
,
.
(Ⅰ)由分別為
、
的中點(diǎn)可知:
,
所以.
根據(jù)已知得.
平面
,
平面
.
平面
.
(Ⅱ)為平面
的法向量.
設(shè)為平面
的一個(gè)法向量,則
由,
,解得:
令,得
,此時(shí),
.
由得平面
平面
.
(Ⅲ)為平面
的法向量,設(shè)平面
與平面
所成二面角
的大小為,則
.
根據(jù)已知得,即平面
與平面
所成二面角的大小為30°.
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AB |
e1 |
AD |
e2 |
AA1 |
e3 |
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3 |
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