如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F 為棱AD、AB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:EF∥平面CB1D1
(Ⅱ)求證:平面CAA1C1⊥平面CB1D1

解:(Ⅰ)證明:連接BD.
在正方體AC1中,對(duì)角線BD∥B1D1
又因?yàn)镋、F為棱AD、AB的中點(diǎn),
所以EF∥BD.
所以EF∥B1D1.(4分)
又B1D1?平面CB1D1,EF?平面CB1D1
所以EF∥平面CB1D1.(7分)
(Ⅱ)因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體AC1中,
AA1⊥平面A1B1C1D1,而B1D1?平面A1B1C1D1
所以AA1⊥B1D1.(10分)
又因?yàn)樵谡叫蜛1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,
所以B1D1⊥平面CAA1C1.(12分)
又因?yàn)锽1D1?平面CB1D1,
所以平面CAA1C1⊥平面CB1D1.(14分)
分析:(Ⅰ)欲證EF∥平面CB1D1,根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證EF與平面CB1D1內(nèi)一直線平行,連接BD,根據(jù)中位線可知EF∥BD,則EF∥B1D1,又B1D1?平面CB1D1,EF?平面CB1D1,滿足定理所需條件;
(Ⅱ)欲證平面CAA1C1⊥平面CB1D1,根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面CB1D1內(nèi)一直線與平面CAA1C1垂直,而AA1⊥平面A1B1C1D1,B1D1?平面A1B1C1D1,則AA1⊥B1D1,A1C1⊥B1D1,滿足線面垂直的判定定理則B1D1⊥平面CAA1C1,而B1D1?平面CB1D1,滿足定理所需條件.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理.考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力和基本定理的掌握能力.
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精英家教網(wǎng)若Rt△ABC中兩直角邊為a、b,斜邊c上的高為h,則
1
h2
=
1
a2
+
1
b2
,如圖,在正方體的一角上截取三棱錐P-ABC,PO為棱錐的高,記M=
1
PO2
,N=
1
PA2
+
1
PB2
+
1
PC2
,那么M、N的大小關(guān)系是
 

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,N=
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+
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1
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=
1
a2
+
1
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,如圖,在正方體的一角上截取三棱錐P-ABC,PO為棱錐的高,類比平面幾何中的結(jié)論,得到此三棱錐中的一個(gè)正確結(jié)論為
 

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如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為DD1的中點(diǎn),
(1)求證:AC⊥平面D1DB;
(2)BD1∥平面ABC.

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