Question

已知函數(shù)，其中b，c為常數(shù)且滿足f（1）=4，f（2）=5．
（1）求b，c值；
（2）證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)，并判斷f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性；
（3）求函數(shù)的值域．

Answer 1

解：（1）由f（1）=4，f（2）=5，
得，即，解得b=2，c=0；
所以b=2，c=0．
（2）由（1）知：f（x）=2x+，設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=（）-（2）=，①
因為0＜x₁＜x₂＜1，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＜0，x₁x₂＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）在（0，1）上是減函數(shù)；
當(dāng)1＜x₁＜x₂時，x₁-x₂0，由①式得f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
（3）由（2）知在上單調(diào)遞減，在[1，3]上單調(diào)遞增．
∴f（x）_min=f（1）=4．又，
∴．
故所求值域為．
分析：（1）由f（1）=4，f（2）=5列一方程組即解得；
（2）利用增函數(shù)及減函數(shù)的定義即可證明、判斷單調(diào)性；
（3）借助（2）問的結(jié)論即可求得．
點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，定義是證明函數(shù)單調(diào)性的常用方法，其步驟可分為：①取值；②作差；③變形；④判號；⑤結(jié)論．