Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，BC⊥AB，AD=3，AB=4，BC=，點(diǎn)E在線段AB的延長(zhǎng)線上．曲線段DE上任一點(diǎn)到A、B兩點(diǎn)的距離之和都相等．
（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求曲線段DE的方程；
（2）試問(wèn)：過(guò)點(diǎn)C能否作一條直線l與曲線段DE相交于兩點(diǎn)M、N，使得線段MN以C為中點(diǎn)？若能，則求直線l的方程；
若不能，則說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）以直線AB為x軸，線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，由AD+BD=3+5=8＞AB，知曲線段DE是以A、B為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓的一部分．由此能求出曲線段DE的方程．
（2）設(shè)這樣的直線l存在，由直線x=2與曲線段DE只有一個(gè)交點(diǎn)（0，3），設(shè)直線l的方程為 ，將其代入得．由此能求出直線l的方程．
解答：解：（1）以直線AB為x軸，線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，
建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則．…（1分）
∵AD+BD=3+5=8＞AB，
∴依題意，曲線段DE是以A、B為左、右焦點(diǎn)，
長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓的一部分．  （3分）
故曲線段DE的方程為．       （6分）
（2）設(shè)這樣的直線l存在，
由直線x=2與曲線段DE只有一個(gè)交點(diǎn)（0，3），
知直線l存在斜率，設(shè)直線l的方程為，
即 ，
將其代入，
得①（9分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則由，知x₁+x₂=4，
∴，
解得．（12分）
當(dāng)時(shí)，方程①化為：x²-4x=0，
解得x₁=0，x₂=4．
即，適合條件．
故直線l存在，其方程為，
即．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．