Question

如圖，一張平行四邊形的硬紙片中，，．沿它的對(duì)角線把折起，使點(diǎn)到達(dá)平面外點(diǎn)的位置．

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）當(dāng)二面角為時(shí)，求的長(zhǎng)。

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：因?yàn)?sub>，

，所以．

　　　因?yàn)檎郫B過(guò)程中，，

　　　所以，又，故平面．

　　　又平面，

　　　所以平面平面．

（Ⅱ）解法一：如圖，由（Ⅰ）知，，

　　　所以是二面角的平面角．由已知得，．

　　　作，垂足為，

　　　由

　　　可得，．

　　　連結(jié)，在中，

　　　．

　　　因?yàn)槠矫?sub>平面，

　　　所以平面，可知．

　　　在中，．

　　　解法二：由已知得．以為原點(diǎn)，射線，分別為，軸的正半軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，，．

由（Ⅰ）知，，所以為二面角的平面角．

　　　由已知可得，

　　　所以．

　　　所以，

　　　即的長(zhǎng)為2．