Question

設函數(shù)f（x）=m-

1

2x+1

（1）求證：不論m為何實數(shù)f（x）總為增函數(shù)；
（2）確定m的值，使f（x）為奇函數(shù)并求此時f（x）的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質,函數(shù)單調性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）∵f（x）的定義域為R，任設x₁＜x₂，化簡f（x₁）-f（x₂）到因式乘積的形式，判斷符號，得出結論．
（2）由f（-x）=-f（x），解出a的值，進而得到函數(shù)的解析式：f（x）=1-

2

2x+1

．由 2^x+1＞1，可得函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）的定義域為R，設 x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=m-

1

2x1+1

-m+

1

2x2+1

=

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，∴2x1-2x2＜0，(2x1+1)(2x2+1)＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），所以不論a為何實數(shù)f（x）總為增函數(shù)．
（2）∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），
即m-

2

2-x+1

=-（m-

2

2x+1

），
解得：m=1．
∴f（x）=1-

2

2x+1

．
∵2^x+1＞1，
∴0＜

2

2x+1

＜1，
∴-1＜f（x）＜1
所以f（x）的值域為（-1，1）．

點評：本題考查證明函數(shù)的單調性的方法、步驟，利用奇函數(shù)的定義求待定系數(shù)的值，及求函數(shù)的值域．