Question

設(shè)f（x）=

ex

1+ax

，其中a為正實(shí)數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)a=

4

3

時(shí)，求f（x）的極值點(diǎn)；
（Ⅱ）若f（x）為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求f（x）的導(dǎo)函數(shù)，再利用f'（x）=0，根據(jù)單調(diào)性求極值點(diǎn)．
（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系判斷f'（x）≥0在R上恒成立，再利用二次函數(shù)圖象和性質(zhì)討論解決．

解答： 解：對f（x）求導(dǎo)f′（x）=e^x 

1+ax2-ax

(1+ax2)2

 ①
（I）a=

4

3

，f′（x）=0則4x²-8x+3=0解得x₁=

3

2

，x₂=

1

2

綜合①，可知

x	（-∞， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ， 3 2 ）	3 2	（ 3 2 ，+∞）
f′（x）=	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以，x₁=

3

2

是極小值點(diǎn)，x₂=

1

2

是極大值點(diǎn)．
（II）若f（x）為R上的單調(diào)函數(shù)，則f′（x）在R上不變號，結(jié)合①與條件a＞0，ax²-2ax+1≥0
在R上恒成立，因?yàn)椤?4a²-4a≤0由此并結(jié)a＞0，0＜a≤1

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)在判斷單調(diào)性，極值問題中的應(yīng)用．
還有已知函數(shù)的單調(diào)性，求解參變量范圍問題，利用不等式的恒成立問題求解，這要求對函數(shù)、不等式問題理解要很深刻，應(yīng)用靈活