Question

已知圓C經(jīng)過P（4，-2），Q（-1，3）兩點，圓心C在第一象限且到直線3x+4y+4=0的距離為

14

5

．
（I）求直線PQ與圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在直線l∥PQ，使得直線l與圓C交于點A、B，且以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點，若存在求出直線l的方程，不存在說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：綜合題,直線與圓

分析：（I）利用點斜式求直線PQ，求出圓心與半徑，可得圓C的方程；
（Ⅱ）假設(shè)直線l存在，設(shè)方程為x+y+m=0，代入圓方程，利用以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點O，可得AO⊥BO，即x₁x₂+y₁y₂=0，從而可得直線l的方程．

解答： 解：（I）PQ直線方程：y+2=

3+2

-1-5

(x-4)即x+y-2=0
∵C在PQ的中垂線上，PQ的中垂線方程為y-

1

2

=x-

3

2

即y=x-1
設(shè)C（a，a-1），由條件d=

|3a+4(a-1)+4|

5

=

14

5

得|a|=2
∵圓心C在第一象限，∴a=2，即C（2，1）
所以圓C的方程為：（x-2）²+（y-1）²=13
（Ⅱ）假設(shè)存在l與圓C交于點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點，
其方程設(shè)為x+y+m=0代人圓C方程得2x²+2（m-1）x+m²+2m-8=0△=4（m-1）²-8（m²+2m-8）＞0得-3-

26

＜m＜-3+

26

（*）x₁+x₂=1-m，x1x2=

m2+2m-8

2

；
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0可得2x1x2+m(x1+x2)+m2=0
可得m²+3m-8=0解得m=

-3± 41

2

滿足（*）
∴直線l的方程為：2x+2y-3+

41

=0和2x+2y-3-

41

=0．

點評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生對直線與圓相交的問題的轉(zhuǎn)化方法，考查學(xué)生的方程思想和運算化簡能力，屬于中檔題．