(2013•石家莊二模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+(
a
2
+
1
2
)x2+(2a-2)x
(a∈R)有三個不同的零點.
(Ⅰ)求a的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)三個互不相同的零點為0,α,β(α<β),是否存在實數(shù)a,對于任意的x∈[α,β]均有f(x)≥f(1)成立,若存在,求出a的取值集合,若不存在,請說明理由.
分析:(Ⅰ)f(x)=x[
1
3
x2
+(
a
2
+
1
2
)x+(2a-2)],令g(x)=
1
3
x2
+(
a
2
+
1
2
)x+(2a-2),令△>0可求得a的范圍,注意g(0)≠0;
(Ⅱ)令f′(x)=0,得x=-2或x=-(a-1),由(Ⅰ)按a的范圍a>7,1<a<
5
3
,a<1三種情況進行討論,根據(jù)極值點與零點的大小關(guān)系及函數(shù)f(x)的單調(diào)性結(jié)合圖象逐一判斷可得結(jié)論;
解答:解:(Ⅰ)f(x)=
1
3
x3+(
a
2
+
1
2
)x2+(2a-2)x
=x[
1
3
x2
+(
a
2
+
1
2
)x+(2a-2)],
令g(x)=
1
3
x2
+(
a
2
+
1
2
)x+(2a-2),
△=(
a
2
+
1
2
)2-
4
3
(2a-2)
=
(a-7)(3a-5)
12
>0,解得a>7或a<
5
3
,
又g(0)=2a-2≠0,∴a≠1,
所以a的取值范圍為(-∞,1)∪(1,
5
3
)∪(7,+∞);
(Ⅱ)f′(x)=x2+(a+1)x+2(a-1)=(x+2)[x+(a-1)],
令f′(x)=0,得x=-2或x=-(a-1),
①當(dāng)a>7時,1-a<-6,α<1-a<β<-2<0,f(x)在(-2,+∞)上為增函數(shù),此時,f(α)=0,f(1)>f(0)=0,與題意不符,舍去;
②當(dāng)1<a<
5
3
時,-
2
3
<1-a<0,此時,α<-2<β<1-a<0,f(x)在(1-a,+∞)上為單增函數(shù),f(α)=0,f(1)>f(0)=0,與題意不符,舍去;
③當(dāng)a<1時,1-a>0,此時α<-2<0<1-a<β,f(x)在(-2,1-a)上單調(diào)遞減,f(x)在(1-a,+∞)上單調(diào)遞增,
又對任意的x∈[α,β],都有f(x)≥f(1)恒成立,所以α<1<β,
所以f(1)為函數(shù)f(x)在[α,β]上的最小值,即f(1-a)=f(1),
所以1-a=1,即a=0,
故a的取值集合為{0}.
點評:本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值、函數(shù)的單調(diào)性,考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想,考查學(xué)生綜合運用所學(xué)知識分析解決問題的能力.
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2
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