Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知直線l：8x+6y+1=0，圓C₁：x²+y²+8x-2y+13=0，圓C₂：x²+y²+8tx-8y+16t+12=0．
（1）當(dāng)t=-1時(shí)，試判斷圓C₁與圓C₂的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若圓C₁與圓C₂關(guān)于直線l對(duì)稱，求t的值；
（3）在（2）的條件下，若P（a，b）為平面上的點(diǎn)，是否存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線l₁和l₂，它們分別與圓C₁與圓C₂相交，且直線l₁被圓C₁截得的弦長(zhǎng)與直線l₂被圓C₂截得的弦長(zhǎng)相等，若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）t=-1時(shí)，圓C₁的圓心C₁（-4，1），半徑r₁=2；圓C₂的圓心C₂（4，4），半徑r₂=2
∴圓心距|C₁C₂|=＞r₁+r₂=8
∴兩圓相離
（2）圓C₂的圓心C₂（-4t，4），半徑r₂=
∵圓C₁與圓C₂關(guān)于直線l對(duì)稱，又直線l的斜率
由得t=0；，
（3）假設(shè)存在P（a，b）滿足條件：不妨設(shè)l₁的方程為y-b=k（x-a）（k≠0）
則l₂的方程為y-b=-
因?yàn)閳AC₁與圓C₂的半徑相等，又直線l₁被圓C₁截得的弦長(zhǎng)與直線l₂被圓C₂截得的弦長(zhǎng)相等，
所以圓C₁的圓心到直線l₁距離，和圓C₂的圓心到直線l₂的距離相等，
即=
整理得|（a+4）k-b+1|=|（b-4）k+a|
即（a+4）k-b+1=（b-4）k+a或（a+4）k-b+1=（4-b）k-a
即（a-b+8）k-a-b+1=0或（a+b）k+a-b+1=0
因?yàn)閗取值無(wú)窮多個(gè)
所以或
解得或
∴這樣的點(diǎn)P可能是P₁（-），P₂（-）
∴所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-）和（-）．
分析：（1）求得兩圓的圓心距，與半徑半徑，即可求得結(jié)論；
（2）確定圓C₂的圓心與半徑，兩圓圓C₁與圓C₂關(guān)于直線l對(duì)稱，直線l的斜率，可求t的值；
（3）利用圓C₁與圓C₂的半徑相等，又直線l₁被圓C₁截得的弦長(zhǎng)與直線l₂被圓C₂截得的弦長(zhǎng)相等，可得圓C₁的圓心到直線l₁距離，和圓C₂的圓心到直線l₂的距離相等，由此可得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查圓的對(duì)稱性，考查存在性問(wèn)題的探求，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．