Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2且n∈N⁺）．
（1）求證：數(shù)列{

an

2n

}為等差數(shù)列；
（2）設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差關系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2且n∈N⁺）．兩邊都除以2ⁿ可得

an

2n

-

an-1

2n-1

=1，即可證明；
（2）利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： （1）證明：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2且n∈N⁺）．
∴

an

2n

-

an-1

2n-1

=1，
∴數(shù)列{

an

2n

}為等差數(shù)列，公差為1，首項

a1

21

=

1

2

．
（2）解：由（1）可得：

an

2n

=

1

2

+(n-1)×1=

2n-1

2

．
∴an=(2n-1)×2n-1．
S_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-3）×2^n-2+（2n-1）×2^n-1，
2S_n=2+3×2²+5×2³+…+（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ，
∴-S_n=1+2×2+2×2²+…+2×2^n-1-（2n-1）×2ⁿ=

2×(2n-1)

2-1

-1-（2n-1）×2ⁿ=（3-2n）×2ⁿ-3，
∴Sn=(2n-3)×2n+3．

點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式、“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．