Question

已知f（x）為奇函數(shù)，當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=-x²+2x；當(dāng)x∈（2，+∞）時，f（x）=2x-4，若關(guān)于x的不等式f（x+a）＞f（x）有解，則a的取值范圍為

 

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Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意畫出函數(shù)f（x）的圖象，根據(jù)圖象及函數(shù)f（x）的單調(diào)性，f（x+a），和f（x）的取值即可找出a的范圍．

解答： 解：由題意作出函數(shù)f（x）的圖象，如圖所示：若a＞0，則x≥2時，x+a＞2，x+a＞x；
f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，所以f（x+a）＞f（x），即該不等式有解；
若a＜0，x+a＜x，若x≥2，則x+a≥2+a，要使不等式f（x+a）＞f（x）有解，需2+a＞0，即a＞-2；
若0≤x＜2，則a≤x+a＜2+a，則需2+a＞0，即a＞-2時，f（x+a）＞f（x）有解；
若-2＜x＜0，-2+a＜x+a＜a，則需a＞-2，不等式f（x+a）＞f（x）有解；
若x≤-2，x+a≤a-2＜-2，函數(shù)f（x）在（-∞，-2]為增函數(shù)，所以f（x+a）＜f（x），即不等式f（x+a）＞f（x）無解；
綜上得a的取值范圍是（-2，0∪（0，+∞）．
故答案為：（-2，0）∪（0，+∞）．

點評：考查奇函數(shù)的概念，二次函數(shù)圖象，奇函數(shù)圖象關(guān)于原點的對稱性，以及函數(shù)單調(diào)性的定義．