Question

甲與乙兩人擲硬幣，甲用一枚硬幣擲3次，記正面朝上的次數(shù)為ξ；乙用這枚硬幣擲2次，記正面朝上的次數(shù)為η．
（1）分別求ξ與η的期望；
（2）規(guī)定：若ξ＞η，則甲獲勝；若ξ＜η，則乙獲勝，分別求出甲和乙獲勝的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：互斥事件的概率加法公式,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）依題意，ξ～B( 3 ， 

1

2

 )，η～B( 2 ， 

1

2

 )，由此能求出ξ與η的期望．
（2）甲獲勝的情況有：ξ=1，η=0；ξ=2，η=0，1；ξ=3，η=0，1，2；乙獲勝的情況有：η=1，ξ=0；η=2，ξ=0，1，由此能求出甲和乙獲勝的概率．

解答： （本題滿分12分）
解：（1）依題意，ξ～B( 3 ， 

1

2

 )，η～B( 2 ， 

1

2

 )，
所以E(ξ)=3×

1

2

 =

3

2

，E(η)=2×

1

2

 =1．…（4分）
（2）由（1）知：
P(ξ=0)=

C

0 3

(

1

2

)3 =

1

8

，
P(ξ=1)=

C

1 3

(

1

2

)1(

1

2

)2 =

3

8

，
P(ξ=2)=

C

2 3

(

1

2

)2(

1

2

)1 =

3

8

，
P(ξ=3)=

C

3 3

(

1

2

)3 =

1

8

，
P(η=0)=

C

0 2

(

1

2

)2 =

1

4

，
P(η=1)=

C

1 2

(

1

2

)1(

1

2

)1 =

1

2

，
P(η=2)=

C

2 2

(

1

2

)2 =

1

4

…（8分）
甲獲勝的情況有：ξ=1，η=0；ξ=2，η=0，1；ξ=3，η=0，1，2，
∴P(甲獲勝)=

3

8

 ×

1

4

+

3

8

 ×(

1

4

+

1

2

)+

1

8

 ×(

1

4

+

1

2

+

1

4

)=

1

2

，
乙獲勝的情況有：η=1，ξ=0；η=2，ξ=0，1，
∴P(乙獲勝)=

1

2

 ×

1

8

+

1

4

 ×(

1

8

+

3

8

)=

3

16

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意二項(xiàng)分布的合理運(yùn)用．