Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，二次函數(shù)f（x）=

1

2

a_n•x²+（2^-n-a_n+1）•x的對(duì)稱軸為x=

1

2

．
（1）試證明{2ⁿa_n}是等差數(shù)列，并求{a_n}通項(xiàng)公式；
（2）設(shè){a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，試求使得S_n＜3成立的n值，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,二次函數(shù)的性質(zhì),等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)對(duì)稱軸，得到2ⁿ⁺¹a_n+1-2ⁿa_n=2，繼而得到{2ⁿa_n}是以2為首項(xiàng)，以2公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出a_n，
（2）利用錯(cuò)位相加法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n，并利用函數(shù)的思想，得到S_n＜3成立的n值．

解答： 證明：（1）∵二次函數(shù)f（x）=

1

2

a_n•x²+（2^-n-a_n+1）•x的對(duì)稱軸為x=

1

2

．
∴

an+1- 1 2n

an

=

1

2

，
∴2ⁿ⁺¹a_n+1-2ⁿa_n=2，
∵a₁=1，
∴2a₁=2，
∴{2ⁿa_n}是以2為首項(xiàng)，以2公差的等差數(shù)列，
∴2ⁿa_n=2+2（n-1）=2n，
∴a_n=

2n

2n

=n•(

1

2

)n-1．

（2）∵S_n=a₁+a₂+…+a_n=1×

1

21-1

+2×

1

21

+3×

1

22

+…+n•(

1

2

)n-1，
∴

1

2

S_n=1×

1

21

+2×

1

22

+3×

1

23

+…+n•

1

2n

，
兩式相減得，

1

2

S_n=

1

20

+

1

21

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-n•

1

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-n•

1

2n

=2-

1

2

•

1

2n

-n•

1

2n

，
∴S_n=4-

n+2

2n-1

，
∵S_n＜3，
∴4-

n+2

2n-1

＜3
∴n+2＞2^n-1，
分別畫(huà)出函數(shù)y=x+2（x＞0），與y=2^x-1（x＞0）的圖象，如圖所示
由圖象可知，當(dāng)n=1，2，3時(shí)，S_n＜3成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，以及等差關(guān)系的確定，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，培養(yǎng)可學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想與綜合運(yùn)算、推理證明能力，屬于中檔題．