Question

7．如圖，已知⊙O₁、⊙O₂的半徑分別為r₁、r₂，⊙O₂經(jīng)過點(diǎn)O₁，且兩圓相交于點(diǎn)A、B，C為⊙O₂上的點(diǎn)，連接AC交⊙O₁于點(diǎn)D，再連接BC、BD、AO₁、AO₂、O₁O₂有如下四個(gè)結(jié)論：①∠BDC=∠AO₁O₂；②$\frac{BD}{BC}$=$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}$③AD=DC  ④BC=DC，其中正確結(jié)論的序號(hào)為①②④．

Answer 1

分析 ①延長O₂O₁交圓O₁于M，連接AB、AM、BM、O₂B，根據(jù)相交兩圓的性質(zhì)推出O₂O₁是AB的垂直平分線，得出∠AO₁O₂=$\frac{1}{2}$∠AO₁B=∠AMB，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠AMB=∠BDC，即可判斷；②證△BDC∽△AO₁O₂即可；③無法證出BD=DC，即可判斷③；④由△BDC∽△AO₁O₂，得出∠O₂AO₁=∠DBC，∠BDC=∠AO₁O₂，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠BDC=∠CBD即可．

解答 解：延長O₂O₁交圓O₁于M，連接AB、AM、BM、O₂B，
∵圓O₁與圓O₂交于A、B，
∴O₂O₁是AB的垂直平分線，
∵O₁A=O₁B，
∴∠AO₁O₂=$\frac{1}{2}$∠AO₁B=∠AMB，
∵四邊形AMBD是圓O₁的內(nèi)接四邊形，
∴∠AMB=∠BDC，
∴①正確；
∵O₁A=O₁B，
∴∠C=$\frac{1}{2}$∠AO₂B=∠AO₂M，∠AO₁O₂=∠AMB，
∴△BDC∽△AO₁O₂，
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}$，
∴②正確；
∵△BDC∽△AO₁O₂，
∴∠O₂AO₁=∠DBC，∠BDC=∠AO₁O₂，
∵O₂A=O₂B，
∴∠AO₁O₂=∠O₂AO₁，
∴∠DBC=∠BDC，
∴DC=BC，∴④正確；
無法證出∠C=∠DBC，
即BD≠DC，
∵AD=BD，
∴③錯(cuò)誤．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，相交兩圓的性質(zhì)，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，線段的垂直平分線性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行證明是證此題的關(guān)鍵，題型較好，難度適中．