Question

方程x³-6x²+9x+1=0的實(shí)根個(gè)數(shù)是（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：利用導(dǎo)數(shù)的判斷函數(shù)的增減性，確定函數(shù)的極值，然后根據(jù)極值的正負(fù)，即可判斷出方程實(shí)根的個(gè)數(shù)．

解答：解：設(shè)f（x）=x³-6x²+9x+1，
∴f′（x）=3x²-12x+9，
令f′（x）=0，解得x₁=1或x=3，
當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）＞0，則f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增，
當(dāng)1＜x＜3時(shí)，f′（x）＜0，則f（x）在（1，3）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞3時(shí)，f′（x）＞0，則f（x）在（3，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值f（1）=5，
當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值f（3）=1，
∵f（1）＞0，f（3）＞0，
∴函數(shù)f（x）與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴方程x³-6x²+9x+1=0的實(shí)根個(gè)數(shù)是1個(gè)．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)的判斷，根的個(gè)數(shù)問題一般會(huì)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，本題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值，確定函數(shù)的簡(jiǎn)圖，來確定交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．屬于中檔題．